એક ઉભા થાંભલાનો ઉપરનો $\frac{3}{4}$ ભાગ તેના પાયામાંથી પસાર થતા સમક્ષિતિજ સમતલ પરના અને પાયાથી $40 \ m$ દૂર આવેલા બિંદુએ $\tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ નો ખૂણો આંતરે છે. ઉભા થાંભલાની શક્ય ઊંચાઈ $....... \ m$ છે.

એક ટાવર $AB$ પશ્ચિમ તરફ નમેલો છે અને શિરોલંબ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. ટાવરના સૌથી ઉપરના બિંદુ $B$ નો ઉત્સેધકોણ,$A$ થી $d$ અંતરે પૂર્વમાં આવેલા બિંદુ $C$ પરથી જોતા $\beta$ છે. જો $C$ થી $2d$ અંતરે પૂર્વમાં આવેલા બિંદુ $D$ પરથી $B$ નો ઉત્સેધકોણ $\gamma$ હોય,તો $2\tan \alpha$ ને કેવી રીતે દર્શાવી શકાય?

જો ત્રિકોણમાં ખૂણાઓ $A.P.$ માં હોય અને $b:c = \sqrt{3}:\sqrt{2}$ હોય,તો $\angle A$ .....$^o$ બરાબર થાય.

એક અકાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PQR$ માં, ધારો કે $p, q, r$ એ અનુક્રમે $P, Q, R$ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓની લંબાઈ દર્શાવે છે. $R$ માંથી દોરેલી મધ્યગા બાજુ $PQ$ ને $S$ માં મળે છે, $P$ માંથી દોરેલો લંબ બાજુ $QR$ ને $E$ માં મળે છે, અને $RS$ તથા $PE$ એ $O$ માં છેદે છે. જો $p=\sqrt{3}, q=1$, અને $\triangle PQR$ ના પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા $1$ હોય, તો નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
$(1)$ $\triangle SOE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{48}$
$(2)$ $\triangle PQR$ ના અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $= \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$
$(3)$ $RS$ ની લંબાઈ $= \frac{\sqrt{7}}{2}$
$(4)$ $OE$ ની લંબાઈ $= \frac{1}{6}$

અંતરાલ $[0, 4\pi]$ માં સમીકરણ $\left( 1 - \frac{1}{2 \sin x} \right) \cos^2 2x = 2 \sin x - 3 + \frac{1}{\sin x}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

$x > 0$ માટે સમીકરણ $\tan(e^x) = e^x + e^{-x}$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?