વિધેય $f(x)=x(x-1)(x-2)$ માટે અંતરાલ $[0, 1/2]$ માં લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $C$ નું મૂલ્ય શોધો.

વિધેય $f(x) = \sin(2 \pi x)$ માટે અંતરાલ $x \in [-1, 1]$ પર રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતા $C$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક મોનિક દ્વિઘાત બહુપદી $f(x)$ માટે અંતરાલ $[\alpha, \alpha + 3]$ પર રોલેનું પ્રમેય લાગુ પડે છે, જ્યાં $f(\alpha) = 0$ છે. તેવી જ રીતે, $g(x) = f(x) + 2$ પણ અંતરાલ $[\beta, 3]$ પર રોલેના પ્રમેયનું પાલન કરે છે, જ્યાં $g(3) = 0$ છે, જેથી $c$ ની કિંમત (જ્યાં $f'(c) = g'(c) = 0$) $f(x)$ અને $g(x)$ બંને માટે સમાન છે. તો $(f \circ g)(\alpha)$ ની કિંમત છે...

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $I$: જો $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\ldots+\frac{a_n}{n+1}=0$, જ્યાં $a_0, a_1, \ldots, a_n$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો બહુપદી $P(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ ને અંતરાલ $(0,1)$ માં એક શૂન્ય છે.
વિધાન $II$: જો $f:[a, b] \rightarrow R$ એ $[a, b]$ પર સતત હોય અને $f$ એ $(a, b)$ માં વિકલનીય હોય, જ્યાં $a>0$ અને જો $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ હોય, તો એવો $c \in(a, b)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $c f^{\prime}(c)=f(c)$ થાય.
નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

ધારો કે $f(x)$ એ $[0, 5]$ પર સતત છે અને $(0, 5)$ પર વિકલનીય છે. જો $f(0) = 0$ અને $(0, 5)$ માં તમામ $x$ માટે $|f^{\prime}(x)| \leq \frac{1}{5}$ હોય, તો $[0, 5]$ માં તમામ $x$ માટે નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

નીચેનામાંથી કયું વિધેય આપેલ અંતરાલમાં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે?