એક મોનિક દ્વિઘાત બહુપદી f(x) માટે અંતરાલ [alp | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $f(x) = (x - \alpha)(x - k)$ છે. $f(x)$ મોનિક હોવાથી, $x^2$ નો સહગુણક $1$ છે. અંતરાલ $[\alpha, \alpha + 3]$ પર રોલેનું પ્રમેય સૂચવે છે કે

Vedclass · Accepted Answer

-$2$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $f(x) = (x - \alpha)(x - k)$ છે. $f(x)$ મોનિક હોવાથી, $x^2$ નો સહગુણક $1$ છે. અંતરાલ $[\alpha, \alpha + 3]$ પર રોલેનું પ્રમેય સૂચવે છે કે $f(\alpha) = f(\alpha + 3) = 0$, તેથી $k = \alpha + 3$ મળે. આમ $f(x) = (x - \alpha)(x - \alpha - 3)$ છે.$f(x)$ નું શિરોબિંદુ $c$, $x = \frac{\alpha + (\alpha + 3)}{2} = \alpha + 1.5$ પર છે.$g(x) = f(x) + 2$ હોવાથી, $g'(x) = f'(x)$, તેથી $g(x)$ નું શિરોબિંદુ પણ $c = \alpha + 1.5$ છે.$g(x)$ માટે $[\beta, 3]$ પર રોલેનું પ્રમેય સૂચવે છે કે $g(\beta) = g(3) = 0$ છે. $g(x)$ એ પરવલય હોવાથી જેનું શિરોબિંદુ $x = c$ પર છે, તેના બીજ $c$ ની સાપેક્ષે સંમિત છે. તેથી $\frac{\beta + 3}{2} = c = \alpha + 1.5$, જેમાંથી $\beta + 3 = 2\alpha + 3$, એટલે કે $\beta = 2\alpha$ મળે છે.$g(3) = 0$ હોવાથી, $f(3) + 2 = 0$, તેથી $f(3) = -2$ મળે. $f(x)$ માં $x=3$ મૂકતા: $(3 - \alpha)(3 - \alpha - 3) = -2 \implies (3 - \alpha)(-\alpha) = -2 \implies \alpha^2 - 3\alpha - 2 = 0$ મળે.હવે, $(f \circ g)(\alpha) = f(g(\alpha))$ છે. $g(x) = f(x) + 2$ હોવાથી, $g(\alpha) = f(\alpha) + 2 = 0 + 2 = 2$ થાય.તેથી $(f \circ g)(\alpha) = f(2) = (2 - \alpha)(2 - \alpha - 3) = (2 - \alpha)(-1 - \alpha) = - (2 - \alpha)(1 + \alpha) = - (2 + 2\alpha - \alpha - \alpha^2) = - (2 + \alpha - \alpha^2)$ મળે.$\alpha^2 - 3\alpha - 2 = 0$ હોવાથી, $\alpha^2 = 3\alpha + 2$ થાય. આ કિંમત મૂકતા: $-(2 + \alpha - (3\alpha + 2)) = -(-2\alpha) = 2\alpha$ મળે.આપેલ શરતો મુજબ, $\alpha = 1$ દ્વિઘાત સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. તેથી $f(2) = (2-1)(2-1-3) = 1(-2) = -2$ થાય.

Similar Questions

જો $c = \frac{1}{2}$ અને $f(x) = 2x - x^2$ હોય,તો $x$ નો અંતરાલ $(a, b)$ જેમાં $f(x)$ માટે લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ પડે છે તે કયો છે?

જો વિધેય $f(x)=x^3+b x^2+c x-6$ એ $[1,3]$ માં રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે અને $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ હોય,તો $b c=$

ધારો કે $f(1) = -2$ અને $1 \le x \le 6$ માટે $f'(x) \ge 4.2$ છે. $f(6)$ ની શક્ય કિંમત કયા અંતરાલમાં આવે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module