$\sqrt{3} \, \text{cosec} \, 20^\circ - \text{sec} \, 20^\circ$ ની કિંમત શું છે?

અઋણ પૂર્ણાંકો $n$ માટે,$f(n) = \frac{\sum_{k=0}^n \sin \left(\frac{k+1}{n+2} \pi\right) \sin \left(\frac{k+2}{n+2} \pi\right)}{\sum_{k=0}^n \sin ^2\left(\frac{k+1}{n+2} \pi\right)}$ લો. ધારો કે $\cos ^{-1} x$ એ $[0, \pi]$ માં કિંમતો લે છે,તો નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
$(1)$ $\sin \left(7 \cos ^{-1} f(5)\right)=0$
$(2)$ $f(4)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$(3)$ $\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=\frac{1}{2}$
$(4)$ જો $\alpha=\tan \left(\cos ^{-1} f(6)\right)$ હોય,તો $\alpha^2+2 \alpha-1=0$

જો $\tan \alpha = 2 \sin \beta \sin \gamma \operatorname{cosec}(\beta + \gamma)$ હોય,તો

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?

જો $\tan \alpha = \frac{x^2 - x}{x^2 - x + 1}$ અને $\tan \beta = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1}$ $(x \ne 0, 1)$,જ્યાં $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{2}$ હોય,તો $\tan(\alpha + \beta)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$\cot 16^{\circ} \cot 44^{\circ} + \cot 44^{\circ} \cot 76^{\circ} - \cot 76^{\circ} \cot 16^{\circ} = $