${}^{50}{C_4} + \sum_{r = 1}^6 {^{56 - r}{C_3}}$ का मान है

'$BHARAT$' शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने अलग-अलग शब्द बनाए जा सकते हैं? इनमें से कितने शब्दों में '$B$' और '$H$' कभी भी एक साथ नहीं होंगे?

$MATHEMATICS$ शब्द के अक्षरों को पुनर्व्यवस्थित करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

मान लीजिए $A = \{a_1, a_2, a_3, ..., a_n\}$ एक समुच्चय है जिसमें $n$ अवयव हैं। इसके दो उपसमुच्चय $P$ और $Q$ स्वतंत्र रूप से बनाए जाते हैं। इन उपसमुच्चयों को बनाने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $(P - Q)$ में ठीक $2$ अवयव हों:

जब $0 \le r \le n-1$ हो,तो $\binom{n}{n-r} + \binom{n}{r+1}$ का मान किसके बराबर है?

यदि $EXAMINATION$ शब्द के विभिन्न क्रमचयों (permutations) को शब्दकोश के अनुसार सूचीबद्ध किया जाए,तो $E$ से शुरू होने वाले पहले शब्द से पहले इस सूची में कितने शब्द होंगे?