sumlimits_{n = 2}^infty {frac{n}{{1 + {n^2}l | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ પદ $S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{1 + n^2(n^2 - 2)} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^4 - 2n^2 + 1}$ છે.અહીં છેદ એક પૂર્ણ વર્ગ છે: $n^4 - 2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{5}{16}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ પદ $S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{1 + n^2(n^2 - 2)} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^4 - 2n^2 + 1}$ છે.અહીં છેદ એક પૂર્ણ વર્ગ છે: $n^4 - 2n^2 + 1 = (n^2 - 1)^2 = (n-1)^2(n+1)^2$.તેથી,પદ $\frac{n}{(n-1)^2(n+1)^2}$ થાય.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{n}{(n-1)^2(n+1)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$ લખી શકાય.હવે,ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળાની ગણતરી કરતા:$S = \frac{1}{4} \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$.સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:$S = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) + \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) + \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) + \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{6^2} \right) + \dots \right]$.મોટાભાગના પદો ઉડી જશે,ફક્ત પ્રથમ બે ધન પદો બાકી રહેશે:$S = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{5}{4} \right) = \frac{5}{16}$.

$\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{n}{{1 + {n^2}\left( {{n^2} - 2} \right)}}} $ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Similar Questions

જો કોઈ $A.P.$ ના $11$ મા પદના બમણા તેના $21$ મા પદના $7$ ગણા જેટલા હોય,તો તેનું $25$ મું પદ કેટલું થાય?

જો ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}$ એ $H.P.$ માં હોય,તો ${a_1}{a_2} + {a_2}{a_3} + \dots + {a_{n-1}}{a_n}$ ની કિંમત શું થાય?

ગુણાકાર $2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \ldots$ અનંત સુધી $(\infty)$ કોના બરાબર છે?

$(2 \cdot {}^{1}P_{0} - 3 \cdot {}^{2}P_{1} + 4 \cdot {}^{3}P_{2} - \dots$ $\text{51 માં પદ સુધી}$) + $(1! - 2! + 3! - \dots$ $\text{51 માં પદ સુધી}$) ની કિંમત કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module