sumlimits_{n = 2}^infty {frac{n}{{1 + {n^2}l | vedclass

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Question

(C) दिया गया व्यंजक $S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{1 + n^2(n^2 - 2)} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^4 - 2n^2 + 1}$ है।यहाँ हर एक पूर्ण वर्ग है: $

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{5}{16}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया व्यंजक $S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{1 + n^2(n^2 - 2)} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^4 - 2n^2 + 1}$ है।यहाँ हर एक पूर्ण वर्ग है: $n^4 - 2n^2 + 1 = (n^2 - 1)^2 = (n-1)^2(n+1)^2$।अतः,पद $\frac{n}{(n-1)^2(n+1)^2}$ है।आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं: $\frac{n}{(n-1)^2(n+1)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$।अब,टेलिस्कोपिंग योग की गणना करते हैं:$S = \frac{1}{4} \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$।योग का विस्तार करने पर:$S = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) + \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) + \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) + \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{6^2} \right) + \dots \right]$।अधिकांश पद कट जाएंगे,केवल पहले दो धनात्मक पद शेष रहेंगे:$S = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{5}{4} \right) = \frac{5}{16}$।

$\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{n}{{1 + {n^2}\left( {{n^2} - 2} \right)}}} $ का मान क्या है?

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