k in N का वह मान जिसके लिए समाकलन I_n = int_0 | vedclass

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Question

(D) हमें $I_n = \int_0^1 (1 - x^k)^n dx$ दिया गया है। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = (1 - x^k)^n$ और $dv = dx$ लें। तब $du = n(1 - x^k)^{n-1} (-k

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(D) हमें $I_n = \int_0^1 (1 - x^k)^n dx$ दिया गया है। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = (1 - x^k)^n$ और $dv = dx$ लें। तब $du = n(1 - x^k)^{n-1} (-k x^{k-1}) dx$ और $v = x$ होगा।$I_n = [x(1 - x^k)^n]_0^1 - \int_0^1 x \cdot n(1 - x^k)^{n-1} (-k x^{k-1}) dx$$I_n = 0 + nk \int_0^1 x^k (1 - x^k)^{n-1} dx$$I_n = nk \int_0^1 (x^k - 1 + 1)(1 - x^k)^{n-1} dx$$I_n = nk \int_0^1 [-(1 - x^k)^n + (1 - x^k)^{n-1}] dx$$I_n = -nk I_n + nk I_{n-1}$$I_n(1 + nk) = nk I_{n-1} \Rightarrow \frac{I_n}{I_{n-1}} = \frac{nk}{nk + 1}$दिया है $147 I_{20} = 148 I_{21}$,इसलिए $\frac{I_{21}}{I_{20}} = \frac{147}{148}$।$n = 21$ के लिए पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए: $\frac{I_{21}}{I_{20}} = \frac{21k}{21k + 1}$।दोनों की तुलना करने पर: $\frac{21k}{21k + 1} = \frac{147}{148}$।$21k \cdot 148 = 147(21k + 1)$$3108k = 3087k + 147$$21k = 147 \Rightarrow k = 7$.

$k \in N$ का वह मान जिसके लिए समाकलन $I_n = \int_0^1 (1 - x^k)^n dx, n \in N$,समीकरण $147 I_{20} = 148 I_{21}$ को संतुष्ट करता है,है :

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