6+log_{frac{3}{2}}left(frac{1}{3sqrt{2}}sqrt{ | vedclass

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Question

(A) माना $t = \sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\dots}}}$.तब $t = \sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}t}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने

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$4$

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(A) माना $t = \sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\dots}}}$.तब $t = \sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}t}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4-\frac{1}{3\sqrt{2}}t = t^2$,जिसका अर्थ है $t^2 + \frac{1}{3\sqrt{2}}t - 4 = 0$.$3\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,$3\sqrt{2}t^2 + t - 12\sqrt{2} = 0$.द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(3\sqrt{2})(-12\sqrt{2})}}{2(3\sqrt{2})} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 288}}{6\sqrt{2}} = \frac{-1 \pm 17}{6\sqrt{2}}$.चूंकि $t > 0$,इसलिए $t = \frac{16}{6\sqrt{2}} = \frac{8}{3\sqrt{2}}$.व्यंजक $6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{8}{3\sqrt{2}}\right) = 6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{8}{18}\right) = 6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{4}{9}\right)$.चूंकि $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2 = (\frac{3}{2})^{-2}$,इसलिए व्यंजक $6 + \log_{\frac{3}{2}}\left((\frac{3}{2})^{-2}\right) = 6 - 2 = 4$ है।

$6+\log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\dots}}}\right)$ का मान है

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$x$ का मान ज्ञात कीजिए जो $\log _a x + \log _{\sqrt{a}} x + \log _{\sqrt[3]{a}} x + \dots + \log _{\sqrt[n]{a}} x = \frac{n(n+1)}{2}$ को संतुष्ट करता है।

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