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Question

(C) माना $I = \int_{e^2}^{e^4} \frac{1}{x} \left( \frac{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}}}{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}} + e^{((6-\ln x)^2+1)^{-1}}} \right) dx$ है। $\l

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$1$

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(C) माना $I = \int_{e^2}^{e^4} \frac{1}{x} \left( \frac{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}}}{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}} + e^{((6-\ln x)^2+1)^{-1}}} \right) dx$ है। $\ln x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{x} dx = dt$ प्राप्त होता है। जब $x = e^2$,तब $t = 2$ और जब $x = e^4$,तब $t = 4$ है। अतः,$I = \int_{2}^{4} \frac{e^{(t^2+1)^{-1}}}{e^{(t^2+1)^{-1}} + e^{((6-t)^2+1)^{-1}}} dt$। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{b} f(a+b-t) dt$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{2}^{4} \frac{e^{((6-t)^2+1)^{-1}}}{e^{((6-t)^2+1)^{-1}} + e^{(t^2+1)^{-1}}} dt$। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2I = \int_{2}^{4} \frac{e^{(t^2+1)^{-1}} + e^{((6-t)^2+1)^{-1}}}{e^{(t^2+1)^{-1}} + e^{((6-t)^2+1)^{-1}}} dt = \int_{2}^{4} 1 dt = [t]_{2}^{4} = 4 - 2 = 2$। अतः,$I = 1$।

$\int_{e^2}^{e^4} \frac{1}{x} \left( \frac{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}}}{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}} + e^{((6-\ln x)^2+1)^{-1}}} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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