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Question

(D) हमारे पास $\sum\limits_{r = 1}^8 {\left( {\sin \frac{{2r\pi }}{9} + i\cos \frac{{2r\pi }}{9}} \right)} = \sum\limits_{r = 1}^8 {i\left( {\cos \fra

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$-i$

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(D) हमारे पास $\sum\limits_{r = 1}^8 {\left( {\sin \frac{{2r\pi }}{9} + i\cos \frac{{2r\pi }}{9}} \right)} = \sum\limits_{r = 1}^8 {i\left( {\cos \frac{{2r\pi }}{9} - i\sin \frac{{2r\pi }}{9}} \right)}$ है।यूलर के सूत्र का उपयोग करने पर,यह $i\sum\limits_{r = 1}^8 {e^{-i\frac{2r\pi}{9}}} = i\sum\limits_{r = 1}^8 {\alpha^r}$ हो जाता है,जहाँ $\alpha = e^{-i\frac{2\pi}{9}}$ है।यह $8$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,इसलिए योग $i\alpha \frac{1 - \alpha^8}{1 - \alpha} = i \frac{\alpha - \alpha^9}{1 - \alpha}$ होगा।चूँकि $\alpha^9 = e^{-i2\pi} = 1$,इसलिए व्यंजक $i \frac{\alpha - 1}{1 - \alpha} = i(-1) = -i$ में सरल हो जाता है।

$\sum\limits_{r = 1}^8 {\left( {\sin \frac{{2r\pi }}{9} + i\cos \frac{{2r\pi }}{9}} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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