यदि alpha neq 1 इकाई का कोई n^{th} मूल है,तो | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $S = 1 + 3\alpha + 5\alpha^2 + \dots + (2n - 1)\alpha^{n-1}$ $(i)$$\alpha$ से गुणा करने पर: $\alpha S = \alpha + 3\alpha^2 + 5\alpha^3

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$-\frac{2n}{1 - \alpha}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $S = 1 + 3\alpha + 5\alpha^2 + \dots + (2n - 1)\alpha^{n-1}$ $(i)$$\alpha$ से गुणा करने पर: $\alpha S = \alpha + 3\alpha^2 + 5\alpha^3 + \dots + (2n - 1)\alpha^n$ $(ii)$$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:$(1 - \alpha)S = 1 + 2\alpha + 2\alpha^2 + \dots + 2\alpha^{n-1} - (2n - 1)\alpha^n$चूँकि इकाई के $n^{th}$ मूल के लिए $\alpha^n = 1$:$(1 - \alpha)S = 1 + 2(\alpha + \alpha^2 + \dots + \alpha^{n-1}) - (2n - 1)$गुणोत्तर श्रेणी के योग का उपयोग करने पर $\alpha + \alpha^2 + \dots + \alpha^{n-1} = -1$:$(1 - \alpha)S = 1 + 2(-1) - 2n + 1 = -2n$अतः,$S = -\frac{2n}{1 - \alpha}$.

यदि $\alpha \neq 1$ इकाई का कोई $n^{th}$ मूल है,तो $S = 1 + 3\alpha + 5\alpha^2 + \dots$ $n$ पदों तक,किसके बराबर है?

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यदि $\omega$ इकाई का एक अवास्तविक घनमूल है और $x = \omega^2 - \omega - 3$ है,तो $x^4 + 6x^3 + 10x^2 - 12x - 19$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(1 - \omega + \omega^2)(1 - \omega^2 + \omega)^6$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $\omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं।

यदि $(\sqrt{3}+i)^{10}=a+bi$,जहाँ $a, b \in R$ है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या हैं?

${\left( {\frac{{1 + \sin \theta + i\cos \theta }}{{1 + \sin \theta - i\cos \theta }}} \right)^n} = $

$\sum\limits_{r = 1}^8 {\left( {\sin \frac{{2r\pi }}{9} + i\cos \frac{{2r\pi }}{9}} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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