int e^x left( frac{1 - sin x}{1 - cos x} righ | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ का मान ज्ञात करना है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 - \

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$-e^x \cot \frac{x}{2} + c$,(जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है)

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ का मान ज्ञात करना है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 - \sin x = 1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int e^x \left( \frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$ $I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$ $I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) dx$. माना $f(x) = -\cot \frac{x}{2}$. तब $f'(x) = -(-\operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}$. चूंकि समाकलन $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ के रूप में है,$I = e^x (-\cot \frac{x}{2}) + c = -e^x \cot \frac{x}{2} + c$.

$\int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ का मान किसके बराबर है?

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यदि $\int {{e^{{x^2}}}\left( {2 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = {e^{{x^2}}}f(x) + C} $ और $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है)।

यदि $\int e^x \left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 dx = f(x) + C$ है,तो $f(x) =$

$ \int e^{\sin x} \cdot \left(\frac{\sin x+1}{\sec x}\right) d x $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{\alpha+1}^{\alpha} \frac{e^x(\alpha-x)}{(x-\alpha+1)^2} dx =$

$\int\limits_1^2 {{e^{2x}}} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)\,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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