|x|

Question

(A) मान लीजिए $T = 	an ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}ight)$ है।$x^2 = \cos 2	heta$ रखने पर,जिसका अर्थ है $

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$\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cos ^{-1} x^2$

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(A) मान लीजिए $T = 	an ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}ight)$ है।$x^2 = \cos 2	heta$ रखने पर,जिसका अर्थ है $2	heta = \cos^{-1}(x^2)$ या $	heta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$ है।व्यंजक में $x^2 = \cos 2	heta$ प्रतिस्थापित करने पर:$T = 	an^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2	heta} + \sqrt{1-\cos 2	heta}}{\sqrt{1+\cos 2	heta} - \sqrt{1-\cos 2	heta}}ight)$सर्वसमिकाओं $1+\cos 2	heta = 2\cos^2	heta$ और $1-\cos 2	heta = 2\sin^2	heta$ का उपयोग करने पर:$T = 	an^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos	heta + \sqrt{2}\sin	heta}{\sqrt{2}\cos	heta - \sqrt{2}\sin	heta}ight)$अंश और हर को $\cos	heta$ से विभाजित करने पर:$T = 	an^{-1}\left(\frac{1 + 	an	heta}{1 - 	an	heta}ight)$सूत्र $	an(\frac{\pi}{4} + 	heta) = \frac{1 + 	an	heta}{1 - 	an	heta}$ का उपयोग करने पर:$T = 	an^{-1}\left(	an\left(\frac{\pi}{4} + 	hetaight)ight)$$T = \frac{\pi}{4} + 	heta$अब $	heta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$ वापस रखने पर:$T = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$।

$|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}, x \neq 0$ के लिए $\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\cosh \left(\sinh ^{-1}(\sqrt{8})+\cosh ^{-1} 5\right)=$

यदि $y = \tan^{-1}\sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ है, तो $\cos ^{-1} x+\cos ^{-1}\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3-3 x^2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए: $\tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + 1 \times 2} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + 2 \times 3} \right) + \dots + \tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + n(n + 1)} \right) =$

मान ज्ञात कीजिए: $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) = $

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