જ્યાં x 0 હોય,ત્યારે lim _{x rightarrow 0^+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0^+} ((\sin x)^{\frac{1}{x}} + (\frac{1}{x})^{\sin x})$.પ્રથમ,$L_1 = \lim _{x \rightarrow 0^+} (\sin x)^{\frac{1

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $L = \lim _{x ightarrow 0^+} ((\sin x)^{\frac{1}{x}} + (\frac{1}{x})^{\sin x})$.પ્રથમ,$L_1 = \lim _{x ightarrow 0^+} (\sin x)^{\frac{1}{x}}$ ધ્યાનમાં લો. જેમ $x ightarrow 0^+$,તેમ $\sin x ightarrow 0^+$ અને $\frac{1}{x} ightarrow \infty$. કોઈપણ ધન ઘાત માટે $0$ ની ઘાત $0$ હોવાથી,$L_1 = 0$.હવે,$L_2 = \lim _{x ightarrow 0^+} (\frac{1}{x})^{\sin x}$ ધ્યાનમાં લો.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln L_2 = \lim _{x ightarrow 0^+} \sin x \ln(\frac{1}{x}) = \lim _{x ightarrow 0^+} -\sin x \ln x$.આ $0 	imes \infty$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે. તેને આ રીતે ફરીથી લખતા: $\ln L_2 = -\lim _{x ightarrow 0^+} \frac{\ln x}{\csc x}$.$L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\ln L_2 = -\lim _{x ightarrow 0^+} \frac{1/x}{-\csc x \cot x} = \lim _{x ightarrow 0^+} \frac{\sin x 	an x}{x} = \lim _{x ightarrow 0^+} (\frac{\sin x}{x}) \cdot 	an x$.કારણ કે $\lim _{x ightarrow 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$ અને $\lim _{x ightarrow 0^+} 	an x = 0$,તેથી $\ln L_2 = 1 	imes 0 = 0$.આમ,$L_2 = e^0 = 1$.તેથી,$L = L_1 + L_2 = 0 + 1 = 1$.

જ્યાં $x > 0$ હોય,ત્યારે $\lim _{x \rightarrow 0^+} ((\sin x)^{\frac{1}{x}} + (\frac{1}{x})^{\sin x})$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2|\sin x|}-2|\sin x|-1}{x^2}$

જો $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ae^{x}-b \cos x + ce^{-x}}{x \sin x} = 2$ હોય,તો $a + b + c$ ની કિંમત ........... થાય.

જો $f^{\prime \prime}(0)=k, k \neq 0,$ હોય, તો $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f(x)-3 f(2 x)+f(4 x)}{x^{2}}$ ની કિંમત શું થાય?

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 } \frac{{\left( {\log \left( {1 + x} \right) - \log 2} \right)\left( {3 \cdot 4^{x - 1} - 3x} \right)}}{{\left( {{{\left( {7 + x} \right)}^{1/3}} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^{1/2}}} \right)\sin \pi x}}$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{x \cdot 10^x - x}{1 - \cos x} \right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module