जहाँ x 0 है,lim _{x rightarrow 0^+} ((sin x | vedclass

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Question

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0^+} ((\sin x)^{\frac{1}{x}} + (\frac{1}{x})^{\sin x})$ है।सबसे पहले,$L_1 = \lim _{x \rightarrow 0^+} (\sin x)^{\fr

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(C) माना $L = \lim _{x ightarrow 0^+} ((\sin x)^{\frac{1}{x}} + (\frac{1}{x})^{\sin x})$ है।सबसे पहले,$L_1 = \lim _{x ightarrow 0^+} (\sin x)^{\frac{1}{x}}$ पर विचार करें। जैसे $x ightarrow 0^+$,$\sin x ightarrow 0^+$ और $\frac{1}{x} ightarrow \infty$। चूंकि $0$ की कोई भी धनात्मक घात $0$ होती है,इसलिए $L_1 = 0$ है।अब,$L_2 = \lim _{x ightarrow 0^+} (\frac{1}{x})^{\sin x}$ पर विचार करें।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln L_2 = \lim _{x ightarrow 0^+} \sin x \ln(\frac{1}{x}) = \lim _{x ightarrow 0^+} -\sin x \ln x$।यह $0 	imes \infty$ प्रकार का एक अनिर्धारित रूप है। हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: $\ln L_2 = -\lim _{x ightarrow 0^+} \frac{\ln x}{\csc x}$।$L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर: $\ln L_2 = -\lim _{x ightarrow 0^+} \frac{1/x}{-\csc x \cot x} = \lim _{x ightarrow 0^+} \frac{\sin x 	an x}{x} = \lim _{x ightarrow 0^+} (\frac{\sin x}{x}) \cdot 	an x$।चूंकि $\lim _{x ightarrow 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\lim _{x ightarrow 0^+} 	an x = 0$,इसलिए $\ln L_2 = 1 	imes 0 = 0$ है।अतः,$L_2 = e^0 = 1$ है।इसलिए,$L = L_1 + L_2 = 0 + 1 = 1$ है।

जहाँ $x > 0$ है,$\lim _{x \rightarrow 0^+} ((\sin x)^{\frac{1}{x}} + (\frac{1}{x})^{\sin x})$ का मान है

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