$\lambda$ का वह मान,जिसके लिए रेखा $2x - \frac{8}{3}\lambda y = -3$ शांकव $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ का अभिलंब है,है

मान लीजिए $S_{1}: x^{2}+y^{2}=9$ और $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}=1$ है। तो एक चर वृत्त $S$ के केंद्र का बिंदु पथ,जो $S_{1}$ को आंतरिक रूप से और $S_{2}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,हमेशा किन बिंदुओं से होकर गुजरता है:

दीर्घवृत्त का मानक रूप में समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभिलंब की लंबाई $4$ है और जिसकी नाभियों के बीच की दूरी $4 \sqrt{2}$ है।

बिंदु $P(3,4)$ से दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं जो दीर्घवृत्त को बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं।
$1.$ $A$ और $B$ के निर्देशांक हैं
$(A)$ $(3,0)$ और $(0,2)$
$(B)$ $\left(-\frac{8}{5}, \frac{2 \sqrt{161}}{15}\right)$ और $\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{8}{5}, \frac{2 \sqrt{161}}{15}\right)$ और $(0,2)$
$(D)$ $(3,0)$ और $\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$
$2.$ त्रिभुज $PAB$ का लंबकेंद्र है
$(A)$ $\left(5, \frac{8}{7}\right)$ $(B)$ $\left(\frac{7}{5}, \frac{25}{8}\right)$
$(C)$ $\left(\frac{11}{5}, \frac{8}{5}\right)$ $(D)$ $\left(\frac{8}{25}, \frac{7}{5}\right)$
$3.$ उस बिंदु के बिंदुपथ का समीकरण जिसका बिंदु $P$ और रेखा $AB$ से दूरी समान है,है
$(A)$ $9 x^2+y^2-6 x y-54 x-62 y+241=0$
$(B)$ $x^2+9 y^2+6 x y-54 x+62 y-241=0$
$(C)$ $9 x^2+9 y^2-6 x y-54 x-62 y-241=0$
$(D)$ $x^2+y^2-2 x y+27 x+31 y-120=0$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

यदि एक दीर्घवृत्त (ellipse) की नाभियों के बीच की दूरी उसके नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई के बराबर है, तो उसकी उत्केंद्रता (eccentricity) है

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{49}=1$ की स्पर्श रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों पर बनाया गया न्यूनतम अंतःखंड क्या है?