જેના માટે રેખા $2x - \frac{8}{3}\lambda y = -3$ એ શાંકવ $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ નો અભિલંબ હોય,તે $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

એક ઉપવલય (ellipse) દોરવામાં આવે છે જેમાં વર્તુળ $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ નો વ્યાસ તેનો અર્ધ-ગૌણ અક્ષ (semi-minor axis) છે અને વર્તુળ $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ નો વ્યાસ તેનો અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ (semi-major axis) છે. જો ઉપવલયનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર હોય અને તેના અક્ષો યામ અક્ષો હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શું છે?

જો સમીકરણો $x = 1 + 2 \cos \theta$ અને $y = 2 + \sin \theta$ જ્યાં $0 \leq \theta < 2 \pi$ એક ઉપવલય દર્શાવે છે,તો આ ઉપવલય પરના બિંદુ $P(\theta = \pi/4)$ આગળ દોરેલ અભિલંબ અને તેના મુખ્ય અક્ષનું છેદબિંદુ શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ અને રેખા $y = mx + c$ વાસ્તવિક બિંદુઓમાં છેદે તે માટેની શરત કઈ છે?

જો કેન્દ્ર $(2,0)$ ધરાવતા અને ઉપવલય $x^2+4y^2=36$ માં અંતર્ગત સૌથી મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ હોય,તો $12r^2$ ની કિંમત શોધો.

ઉપવલય $x^2 + 4y^2 = 16$ પરના બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ $x$-અક્ષને $Q$ આગળ મળે છે. જો $M$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોય,તો $M$ નો બિંદુપથ આપેલ ઉપવલયના નાભિલંબને કયા બિંદુઓ આગળ છેદે છે?