$\lim_{n \to \infty} [\frac{1}{1 - n^2} + \frac{2}{1 - n^2} + \dots + \frac{n}{1 - n^2}]$ ની કિંમત શોધો

જો $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{k-1}}{n^{k+1}}[(nk+1)+(nk+2)+\ldots+(nk+n)] = 33 \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}} \cdot [1^k + 2^k + 3^k + \ldots + n^k]$ હોય,તો $k$ ની પૂર્ણાંક કિંમત $....$ છે.

$\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1+5x^2}{1+3x^2} \right)^{\frac{1}{x^2}}$ ની કિંમત શોધો.

મૂલ્ય શોધો: $\cos \left[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2 \pi |x| + \pi x}{|x| - 3x} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2} \cos^2 x \right)}{x^2} \right]$

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I$. $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^n+(-2)^n}{2^n}$ નું અસ્તિત્વ નથી.
$II$. $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3^n+(-3)^n}{4^n}$ નું અસ્તિત્વ નથી.
તો,

ધારો કે $\{x\}$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ દર્શાવે છે અને $f(x)=\frac{\cos ^{-1}\left(1-\{x\}^2\right) \sin ^{-1}(1-\{x\})}{\{x\}-\{x\}^3}, x \neq 0$. જો $L$ અને $R$ અનુક્રમે $x=0$ આગળ $f(x)$ ની ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ દર્શાવે,તો $\frac{32}{\pi^2}\left(L^2+R^2\right)$ ની કિંમત શોધો.