$\lim_{x \to 3} \frac{[x] - 3}{x - 3}$ का मान क्या है, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन (greatest integer function) को दर्शाता है?

मान लीजिए $e$ प्राकृतिक लघुगणक का आधार है। वास्तविक संख्या $a$ का वह मान जिसके लिए दाहिनी ओर की सीमा $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1-x)^{\frac{1}{x}}-e^{-1}}{x^a}$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या के बराबर है,वह है:

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+6}{x+1}\right)^{x+4}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$a > 1$ के लिए $\mathop {\text{Limit}}\limits_{x \to \infty } \frac{{\cot ^{ - 1}}\left( {{x^{ - a}}\log _a x} \right)}{{\sec ^{ - 1}}\left( {{a^x}\log _x a} \right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\sqrt{x^2+2 x-1}-x\right]$ का मान ज्ञात कीजिए :

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \sin ^{-1} x}{x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।