int_0^{sin^2 x} sin^{-1} sqrt{t} ,dt + int_0^ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \,dt + \int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \,dt$. प्रथम समाकलन के लिए,$t = \sin^2 u$ लें,तब $dt =

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$\frac{\pi}{4}$

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(C) माना $I = \int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \,dt + \int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \,dt$. प्रथम समाकलन के लिए,$t = \sin^2 u$ लें,तब $dt = \sin 2u \,du$. जब $t=0, u=0$ और जब $t=\sin^2 x, u=x$. अतः,$\int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \,dt = \int_0^x u \sin 2u \,du$. द्वितीय समाकलन के लिए,$t = \cos^2 v$ लें,तब $dt = -\sin 2v \,dv$. जब $t=0, v=\pi/2$ और जब $t=\cos^2 x, v=x$. अतः,$\int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \,dt = \int_{\pi/2}^x v (-\sin 2v) \,dv = \int_x^{\pi/2} v \sin 2v \,dv$. इस प्रकार,$I = \int_0^x u \sin 2u \,du + \int_x^{\pi/2} u \sin 2u \,du = \int_0^{\pi/2} u \sin 2u \,du$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u \sin 2u \,du = -\frac{u \cos 2u}{2} + \frac{\sin 2u}{4}$. $0$ से $\pi/2$ तक सीमाएं रखने पर: $\left[ -\frac{u \cos 2u}{2} + \frac{\sin 2u}{4} \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}$.

$\int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \,dt + \int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \,dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

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