int_0^{pi /2} {log left( {frac{{4 + 3sin x}}{ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} {\log \left( {\frac{{4 + 3\sin x}}{{4 + 3\cos x}}} \right)} \,dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ क

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(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} {\log \left( {\frac{{4 + 3\sin x}}{{4 + 3\cos x}}} \right)} \,dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\pi /2} {\log \left( {\frac{{4 + 3\sin(\pi/2 - x)}}{{4 + 3\cos(\pi/2 - x)}}} \right)} \,dx$. चूँकि $\sin(\pi/2 - x) = \cos x$ और $\cos(\pi/2 - x) = \sin x$,इसलिए: $I = \int_0^{\pi /2} {\log \left( {\frac{{4 + 3\cos x}}{{4 + 3\sin x}}} \right)} \,dx$. गुणधर्म $\log(a/b) = -\log(b/a)$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\pi /2} -\log \left( {\frac{{4 + 3\sin x}}{{4 + 3\cos x}}} \right) \,dx = -I$. अतः,$2I = 0$,जिसका अर्थ है कि $I = 0$.

$\int_0^{\pi /2} {\log \left( {\frac{{4 + 3\sin x}}{{4 + 3\cos x}}} \right)} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $h(a) = h(b)$ है,तो समाकलन $\int_a^b {[f(g(h(x)))]^{-1} f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \, dx} = $ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकल $\int_{-1/2}^{1/2} (\sin^{-1}(3x - 4x^3) - \cos^{-1}(4x^3 - 3x)) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x}} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$e^{\int_0^{\pi / 2} \sqrt{\frac{1-\sin 2 x}{1+\sin 2 x}} d x}=$

$\int_{-1/2}^{1/2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx=$

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