$\int_0^1 {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{2x - 1}}{{1 + x - {x^2}}}} \right)} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$2 \tanh^{-1} \frac{1}{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक डोरी पर अनुप्रस्थ हार्मोनिक तरंग का समीकरण $y = 3 \sin(36t + 0.018x + \frac{\pi}{4})$ है,जहाँ $x$ और $y$ $cm$ में हैं और $t$ $s$ में है। तरंग में दो क्रमिक श्रृंगों के बीच की न्यूनतम दूरी .... $m$ है। ($.5$ में)

$1 ~cm$ त्रिज्या वाले एक गोलाकार साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $2 ~mm$ ऊंचे तेल के स्तंभ (विशिष्ट गुरुत्व $= 0.8$) द्वारा संतुलित होता है। बुलबुले का पृष्ठ तनाव क्या है ($~N/m$ में)?

यदि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\sin \left\{\left(\omega^{10}+\omega^{23}\right) \pi-\frac{\pi}{4}\right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

पृथ्वी की कोणीय गति क्या होनी चाहिए,ताकि भूमध्य रेखा पर स्थित कोई वस्तु भारहीन प्रतीत हो? $(g = 10\,m/s^2, R = 6400\,km)$