int_{0}^{pi /2} (sqrt{sin theta} cos theta)^3 | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi /2} (\sqrt{\sin 	heta} \cos 	heta)^3 d	heta = \int_{0}^{\pi /2} \sin^{3/2} 	heta \cos^3 	heta d	heta$.बीटा फलन के सू

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$8/45$

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(C) माना $I = \int_{0}^{\pi /2} (\sqrt{\sin 	heta} \cos 	heta)^3 d	heta = \int_{0}^{\pi /2} \sin^{3/2} 	heta \cos^3 	heta d	heta$.बीटा फलन के सूत्र $\int_{0}^{\pi /2} \sin^m 	heta \cos^n 	heta d	heta = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $m = 3/2$ और $n = 3$ है:$I = \frac{\Gamma(\frac{3/2 + 1}{2}) \Gamma(\frac{3 + 1}{2})}{2 \Gamma(\frac{3/2 + 3 + 2}{2})} = \frac{\Gamma(5/4) \Gamma(2)}{2 \Gamma(13/4)}$.चूँकि $\Gamma(2) = 1! = 1$ और $\Gamma(13/4) = \Gamma(1 + 9/4) = \frac{9}{4} \Gamma(9/4) = \frac{9}{4} \cdot \frac{5}{4} \Gamma(5/4)$:$I = \frac{\Gamma(5/4) \cdot 1}{2 \cdot (\frac{9}{4} \cdot \frac{5}{4} \Gamma(5/4))} = \frac{1}{2 \cdot \frac{45}{16}} = \frac{16}{90} = \frac{8}{45}$.

$\int_{0}^{\pi /2} (\sqrt{\sin \theta} \cos \theta)^3 d\theta$ का मान क्या है?

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यदि $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n \theta \, d\theta$ है,तो $I_{n-1} + I_{n+1}$ का मान क्या होगा?

$\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \cos^{-8} x \, dx =$

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 2x \sin 3x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि $\int_0^1 f(x) \, dx = 1$,$\int_0^1 x f(x) \, dx = a$,और $\int_0^1 x^2 f(x) \, dx = a^2$ है। तो $\int_0^1 (x - a)^2 f(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकल $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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