यदि n = 1, 2, 3, ldots के लिए I_n = int_0^{pi | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$I_n = \int_0^{\pi/4} 	an^n 	heta \, d	heta$. हमें $I_{n-1} + I_{n+1}$ का मान ज्ञात करना है। $I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi/4}

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$\frac{1}{n}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है,$I_n = \int_0^{\pi/4} 	an^n 	heta \, d	heta$. हमें $I_{n-1} + I_{n+1}$ का मान ज्ञात करना है। $I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi/4} 	an^{n-1} 	heta \, d	heta + \int_0^{\pi/4} 	an^{n+1} 	heta \, d	heta$. $	an^{n-1} 	heta$ को कॉमन लेने पर: $I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi/4} 	an^{n-1} 	heta (1 + 	an^2 	heta) \, d	heta$. चूंकि $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$,इसलिए: $I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi/4} 	an^{n-1} 	heta \sec^2 	heta \, d	heta$. मान लीजिए $u = 	an 	heta$,तो $du = \sec^2 	heta \, d	heta$. जब $	heta = 0$,तो $u = 0$ और जब $	heta = \pi/4$,तो $u = 1$. $I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^1 u^{n-1} \, du = \left[ \frac{u^n}{n} ight]_0^1 = \frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n}$.

यदि $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n \theta \, d\theta$ है,तो $I_{n-1} + I_{n+1}$ का मान क्या होगा?

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$\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\frac{x-\alpha}{\beta-x}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \sqrt{1-x} & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ (7x-6)^{-1/3} & 1 < x \leqslant 2 \end{cases}$ है,तो $\int_{0}^{2} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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निश्चित समाकलन $\int_0^1 \frac{x \, dx}{x^3 + 16}$ का मान अंतराल $[a, b]$ में स्थित है। ऐसा सबसे छोटा अंतराल है

$I = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{8 \sin x - \sin 2x}{x} dx$. तो

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