I = int_{pi/4}^{pi/3} frac{8 sin x - sin 2x}{ | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = 8 \sin x - \sin 2x$. हम अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ पर समाकल्य $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ की सीमाओं का मूल्यांकन करते हैं। $

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$\frac{5\pi}{12} < I < \frac{\sqrt{2}}{3} \pi$

Vedclass · Answer

(C) माना $f(x) = 8 \sin x - \sin 2x$. हम अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ पर समाकल्य $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ की सीमाओं का मूल्यांकन करते हैं। $x = \frac{\pi}{4}$ पर,$f(\frac{\pi}{4}) = 8(\frac{1}{\sqrt{2}}) - 1 = 4\sqrt{2} - 1 \approx 4.656$. $x = \frac{\pi}{3}$ पर,$f(\frac{\pi}{3}) = 8(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \approx 6.062$. चूंकि इस अंतराल पर $f(x)$ एक वर्धमान फलन है,$g(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{f(\pi/4)}{\pi/4} = \frac{16\sqrt{2}-4}{\pi} \approx 5.93$ है। अधिकतम मान $\frac{f(\pi/3)}{\pi/3} = \frac{21\sqrt{3}}{2\pi} \approx 5.79$ है। अंतराल की लंबाई $\frac{\pi}{12}$ है,इसलिए समाकलन $I$,$\frac{\pi}{12} 	imes \min(g(x))$ और $\frac{\pi}{12} 	imes \max(g(x))$ के बीच स्थित है। गणना करने पर,$I$ का मान $\frac{5\pi}{12} < I < \frac{\sqrt{2}}{3} \pi$ के बीच प्राप्त होता है।

$I = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{8 \sin x - \sin 2x}{x} dx$. तो

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