4 {^nC_1 + 4 cdot ^nC_2 + 4^2 cdot ^nC_3 + do | vedclass

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Question

(D) माना $E = 4 \{^nC_1 + 4 \cdot ^nC_2 + 4^2 \cdot ^nC_3 + \dots + 4^{n-1} \cdot ^nC_n\}$.कोष्ठक के अंदर $4$ का गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:$E

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$5^n - 1$

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(D) माना $E = 4 \{^nC_1 + 4 \cdot ^nC_2 + 4^2 \cdot ^nC_3 + \dots + 4^{n-1} \cdot ^nC_n\}$.कोष्ठक के अंदर $4$ का गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:$E = 4 \cdot ^nC_1 + 4^2 \cdot ^nC_2 + 4^3 \cdot ^nC_3 + \dots + 4^n \cdot ^nC_n$.द्विपद प्रमेय के अनुसार: $(1 + x)^n = ^nC_0 + ^nC_1 x + ^nC_2 x^2 + \dots + ^nC_n x^n$.$x = 4$ रखने पर:$(1 + 4)^n = ^nC_0 + ^nC_1(4) + ^nC_2(4^2) + \dots + ^nC_n(4^n)$.$5^n = 1 + (4 \cdot ^nC_1 + 4^2 \cdot ^nC_2 + \dots + 4^n \cdot ^nC_n)$.$5^n = 1 + E$.अतः,$E = 5^n - 1$.

$4 \{^nC_1 + 4 \cdot ^nC_2 + 4^2 \cdot ^nC_3 + \dots + 4^{n-1} \cdot ^nC_n\}$ का मान क्या है?

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