समाकलन int_{-frac{pi}{4}}^{frac{pi}{4}} log ( | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sec 	heta - 	an 	heta) \, d	heta$ है। फलन $f(	heta) = \log (\sec 	heta - 	an 	heta)

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$0$

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(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sec 	heta - 	an 	heta) \, d	heta$ है। फलन $f(	heta) = \log (\sec 	heta - 	an 	heta)$ पर विचार करें। हम $f(-	heta)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि क्या $f(	heta)$ एक विषम फलन है: $f(-	heta) = \log (\sec(-	heta) - 	an(-	heta)) = \log (\sec 	heta + 	an 	heta)$। चूंकि $\sec 	heta + 	an 	heta = \frac{1}{\sec 	heta - 	an 	heta}$,इसलिए: $f(-	heta) = \log \left( \frac{1}{\sec 	heta - 	an 	heta} ight) = -\log (\sec 	heta - 	an 	heta) = -f(	heta)$। अतः,$f(	heta)$ एक विषम फलन है और अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है,इसलिए इस अंतराल पर विषम फलन का समाकलन $0$ होता है। अतः,$I = 0$।

समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sec \theta - \tan \theta) \, d\theta$ का मान है

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