समाकलन int_0^{pi / 2} sin^5 x , dx का मान है | vedclass

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Question

(C) समाकलन $I = \int_0^{\pi / 2} \sin^5 x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम वालिस के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int_0^{\pi / 2} \sin^n x \, dx = \fr

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$\frac{8}{15}$

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(C) समाकलन $I = \int_0^{\pi / 2} \sin^5 x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम वालिस के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int_0^{\pi / 2} \sin^n x \, dx = \frac{(n-1)!!}{n!!}$ (जब $n$ विषम संख्या हो)।यहाँ $n = 5$ है, इसलिए:$I = \frac{(5-1) 	imes (5-3)}{5 	imes 3 	imes 1} = \frac{4 	imes 2}{5 	imes 3 	imes 1} = \frac{8}{15}$।वैकल्पिक रूप से, प्रतिस्थापन विधि द्वारा:$I = \int_0^{\pi / 2} \sin^4 x \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 2} (1 - \cos^2 x)^2 \sin x \, dx$।माना $u = \cos x$, तब $du = -\sin x \, dx$। जब $x = 0, u = 1$; जब $x = \pi / 2, u = 0$।$I = -\int_1^0 (1 - u^2)^2 \, du = \int_0^1 (1 - 2u^2 + u^4) \, du$।$I = [u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}]_0^1 = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15 - 10 + 3}{15} = \frac{8}{15}$।

समाकलन $\int_0^{\pi / 2} \sin^5 x \, dx$ का मान है

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