int_{-2 pi}^{2 pi} sin ^4 x cos ^6 x , dx = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$ है। चूंकि $f(x) = \sin ^4 x \cos ^6 x$ एक सम फलन है, $f(-x) = \sin ^4(-x) \cos ^6(-x) =

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$\frac{3 \pi}{64}$

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(D) माना $I = \int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$ है। चूंकि $f(x) = \sin ^4 x \cos ^6 x$ एक सम फलन है, $f(-x) = \sin ^4(-x) \cos ^6(-x) = \sin ^4 x \cos ^6 x = f(x)$, हम लिख सकते हैं: $I = 2 \int_{0}^{2 \pi} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$। गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) \, dx = 4 \int_{0}^{a/2} f(x) \, dx$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $f(2a-x) = f(x)$ और $f(a-x) = f(x)$, हम देखते हैं कि $\sin ^4 x \cos ^6 x$ का आवर्तकाल $\pi/2$ है। अतः, $I = 2 	imes 4 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx = 8 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$। वालिस के सूत्र $\int_{0}^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} 	imes \frac{\pi}{2}$ (यदि $m, n$ सम हैं) का उपयोग करने पर: $I = 8 	imes \frac{3 	imes 1 	imes 5 	imes 3 	imes 1}{10 	imes 8 	imes 6 	imes 4 	imes 2} 	imes \frac{\pi}{2} = 8 	imes \frac{45}{3840} 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{64}$।

$\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx =$

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