समाकलन int_{-pi}^{pi} (cos px - sin qx)^2 dx | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos px - \sin qx)^2 dx$. समाकल्य का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2 px + \sin^2

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$2\pi$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos px - \sin qx)^2 dx$. समाकल्य का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2 px + \sin^2 qx - 2 \cos px \sin qx) dx$. गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ का उपयोग करते हुए यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो पद $\int_{-\pi}^{\pi} 2 \cos px \sin qx dx = 0$ होगा क्योंकि $\cos px$ सम है और $\sin qx$ विषम है। अतः,$I = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 px dx + \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 qx dx$. सर्वसमिका $\cos^2 	heta = \frac{1 + \cos 2	heta}{2}$ और $\sin^2 	heta = \frac{1 - \cos 2	heta}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 + \cos 2px}{2} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos 2qx}{2} dx$. $I = \frac{1}{2} [x + \frac{\sin 2px}{2p}]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{2} [x - \frac{\sin 2qx}{2q}]_{-\pi}^{\pi}$. चूंकि $p, q$ पूर्णांक हैं,$\sin(2p\pi) = 0$ और $\sin(-2p\pi) = 0$. $I = \frac{1}{2} [(\pi - 0) - (-\pi - 0)] + \frac{1}{2} [(\pi - 0) - (-\pi - 0)]$. $I = \frac{1}{2} [2\pi] + \frac{1}{2} [2\pi] = \pi + \pi = 2\pi$.

समाकलन $\int_{-\pi}^{\pi} (\cos px - \sin qx)^2 dx$ का मान,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं,किसके बराबर है?

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मान लीजिए कि $f:R \to R$ और $g:R \to R$ सतत फलन हैं,तो समाकलन $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx$ का मान क्या होगा?

$U_n = \int\limits_0^1 x^n (2 - x)^n \, dx$ और $V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$,जहाँ $n \in N$ है,के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \cos x} = \dots$

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx$ का मान है

$\int_0^{2\pi } {\frac{{\sin 2\theta }}{{a - b\cos \theta }}\,d\theta = } $

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