सीमा lim _{theta rightarrow 0} frac{tan (pi c | vedclass

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Question

(A) हमें सीमा $L = \lim _{	heta ightarrow 0} \frac{	an (\pi \cos ^{2} 	heta)}{\sin (2 \pi \sin ^{2} 	heta)}$ दी गई है।सर्वसमिका $\cos^2 	heta =

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$-\frac{1}{2}$

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(A) हमें सीमा $L = \lim _{	heta ightarrow 0} \frac{	an (\pi \cos ^{2} 	heta)}{\sin (2 \pi \sin ^{2} 	heta)}$ दी गई है।सर्वसमिका $\cos^2 	heta = 1 - \sin^2 	heta$ का उपयोग करने पर,$	an (\pi \cos^2 	heta) = 	an (\pi - \pi \sin^2 	heta)$ प्राप्त होता है।चूंकि $	an (\pi - x) = -	an x$,इसलिए $	an (\pi - \pi \sin^2 	heta) = -	an (\pi \sin^2 	heta)$ होगा।इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर,$L = \lim _{	heta ightarrow 0} \frac{-	an (\pi \sin^2 	heta)}{\sin (2 \pi \sin^2 	heta)}$ प्राप्त होता है।जैसे $	heta ightarrow 0$,$\sin^2 	heta ightarrow 0$। माना $u = \pi \sin^2 	heta$,तो $	heta ightarrow 0$ के लिए $u ightarrow 0$ होगा।व्यंजक $\lim _{u ightarrow 0} \frac{-	an u}{\sin (2u)}$ बन जाता है।मानक सीमा $\lim _{x ightarrow 0} \frac{	an x}{x} = 1$ और $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:$L = \lim _{u}$ ${ightarrow 0} -\left( \frac{	an u}{u} ight) \left( \frac{2u}{\sin (2u)} ight) 	imes \frac{1}{2} = -1 	imes 1 	imes \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

सीमा $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan (\pi \cos ^{2} \theta)}{\sin (2 \pi \sin ^{2} \theta)}$ का मान ज्ञात कीजिए :

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$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^3 x - \sin ^3 x}{x^5}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (1 - x)\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right) = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos (\sin x) - 1}}{{{x^2}}} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin(mx)}{\tan(nx)} = $

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