यदि फलन f(x) = begin{cases} -2 sin x, & -pi l | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x)$ के $[-\pi, \pi]$ में सतत होने के लिए,इसे $x = -\frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होना चाहिए।$x = -\frac{\pi}{2}$ पर:$\lim_{x

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$-1, 1$

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(D) फलन $f(x)$ के $[-\pi, \pi]$ में सतत होने के लिए,इसे $x = -\frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होना चाहिए।$x = -\frac{\pi}{2}$ पर:$\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^-} (-2 \sin x) = -2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = -2(-1) = 2$.$\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^+} (a \sin x + b) = a \sin(-\frac{\pi}{2}) + b = -a + b$.इन्हें बराबर करने पर,$-a + b = 2$ (समीकरण $1$)।$x = \frac{\pi}{2}$ पर:$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (a \sin x + b) = a \sin(\frac{\pi}{2}) + b = a + b$.$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} \cos x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.इन्हें बराबर करने पर,$a + b = 0$ (समीकरण $2$)।समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:$(-a + b) + (a + b) = 2 + 0 \Rightarrow 2b = 2 \Rightarrow b = 1$.$b = 1$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:$a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$.अतः,$a = -1$ और $b = 1$ प्राप्त होते हैं।

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यदि $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है,तो

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} 0, & \text{यदि } -1 \leq x < 0 \\ 1, & \text{यदि } x = 0 \\ 2, & \text{यदि } 0 < x \leq 1 \end{cases}$ और मान लीजिए $F(x) = \int_{-1}^{x} f(t) \, dt, -1 \leq x \leq 1$. तो:

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x, & x \leq 0 \\ e^{ax+b}, & x > 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और यह एक सतत फलन है,तो:

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