यदि [x] उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो x | vedclass

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Question

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए, $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले, $LHL$ पर विचार कर

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$(-2, -1)$

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(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए, $\lim_{x ightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x ightarrow 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले, $LHL$ पर विचार करें: $\lim_{x ightarrow 0^-} \frac{a+2 \cos x}{x^2}$। इस सीमा के अस्तित्व और परिमित होने के लिए, अंश को $x ightarrow 0$ होने पर $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए। अतः, $a + 2 \cos(0) = 0 \Rightarrow a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$।$a = -2$ को सीमा में रखने पर: $\lim_{x ightarrow 0^-} \frac{-2 + 2 \cos x}{x^2} = \lim_{x ightarrow 0^-} \frac{-2(1 - \cos x)}{x^2} = \lim_{x ightarrow 0^-} \frac{-2(2 \sin^2(x/2))}{x^2} = -2 \lim_{x ightarrow 0^-} \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2 	imes 2} = -2 	imes \frac{1}{2} = -1$।अब, $RHL$ पर विचार करें: $\lim_{x ightarrow 0^+} b 	an \frac{\pi}{[x+4]}$। जैसे ही $x ightarrow 0^+$, $[x+4] = 4$ होता है।अतः, $RHL = b 	an \frac{\pi}{4} = b(1) = b$।चूंकि $LHL = RHL$, इसलिए $-1 = b$।इस प्रकार, क्रमित युग्म $(a, b)$ का मान $(-2, -1)$ है।

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निर्धारित करें कि $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित फलन $f$ एक सतत फलन है?

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