सदिश overline{p}=hat{i}+a hat{j}+a^2 hat{k},o | vedclass

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Question

(B) दिए गए सारणिक समीकरण:$\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1+a^3 \ b & b^2 & 1+b^3 \ c & c^2 & 1+c^3 \end{array}ight|=0$इसे दो सारणिकों में विभा

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$-1$

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(B) दिए गए सारणिक समीकरण:$\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1+a^3 \ b & b^2 & 1+b^3 \ c & c^2 & 1+c^3 \end{array}ight|=0$इसे दो सारणिकों में विभाजित किया जा सकता है:$\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1 \ b & b^2 & 1 \ c & c^2 & 1 \end{array}ight| + \left|\begin{array}{lll} a & a^2 & a^3 \ b & b^2 & b^3 \ c & c^2 & c^3 \end{array}ight| = 0$दूसरे सारणिक से $abc$ कॉमन लेने पर:$\left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \ 1 & b & b^2 \ 1 & c & c^2 \end{array}ight| + abc \left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \ 1 & b & b^2 \ 1 & c & c^2 \end{array}ight| = 0$$(1 + abc) \left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \ 1 & b & b^2 \ 1 & c & c^2 \end{array}ight| = 0$सारणिक $\left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \ 1 & b & b^2 \ 1 & c & c^2 \end{array}ight|$ वेंडरमोंड सारणिक है,जिसका मान $(a-b)(b-c)(c-a)$ होता है।चूंकि सदिश $\overline{p}, \overline{q}, \overline{r}$ असमतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ अलग-अलग हैं,इसलिए $(a-b)(b-c)(c-a) 
eq 0$।अतः,$1 + abc = 0$,जिससे $abc = -1$ प्राप्त होता है।

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