प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त x^2 + 9y^2 = 9 | vedclass

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Question

(A) यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त $x^2 + 9y^2 = 9$ और रेखा $x + 3y = 3$ द्वारा घिरा हुआ है। दीर्घवृत्त के लिए,$x^2 = 9(1 - y^2)$ है। रेखा

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$3$

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(A) यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त $x^2 + 9y^2 = 9$ और रेखा $x + 3y = 3$ द्वारा घिरा हुआ है। दीर्घवृत्त के लिए,$x^2 = 9(1 - y^2)$ है। रेखा के लिए,$x = 3 - 3y$,इसलिए $x^2 = (3 - 3y)^2 = 9(1 - y)^2$ है। $y$ के लिए समाकलन की सीमाएँ $0$ से $1$ तक हैं। $y$-अक्ष के परितः घूमने पर उत्पन्न आयतन $V$ इस प्रकार है: $V = \int_0^1 \pi x_{	ext{ellipse}}^2 dy - \int_0^1 \pi x_{	ext{line}}^2 dy$ $V = \int_0^1 \pi [9(1 - y^2)] dy - \int_0^1 \pi [9(1 - y)^2] dy$ $V = 9\pi \int_0^1 (1 - y^2 - (1 - 2y + y^2)) dy$ $V = 9\pi \int_0^1 (2y - 2y^2) dy$ $V = 18\pi \int_0^1 (y - y^2) dy$ $V = 18\pi \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} ight]_0^1$ $V = 18\pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ight) = 18\pi \left( \frac{1}{6} ight) = 3\pi$.

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