सदिशों $\hat{i} + m \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + m \hat{k}$ और $m \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम होता है जब $m$ का मान है

दिए गए सदिशों $a, b, c$ के लिए यदि $a \cdot (b \times c) = \lambda \neq 0$ है,तो $\frac{(b \times c) \cdot (a + b + c)}{\lambda}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[(\overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}) \times(\overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a})] \cdot(\overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b})=54$ है,तो $[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) जिसका सह-अंतस्थ किनारे $2 \overrightarrow{a}, 2 \overrightarrow{b}, 2 \overrightarrow{c}$ हैं,का आयतन क्या है?

$\bar{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\bar{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\bar{c} = x\hat{i} + (x-1)\hat{j} - \hat{k}$ है। यदि सदिश $\bar{c}$,$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के समतल में स्थित है,तो $x=$

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ को $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ के रूप में परिभाषित किया गया है, तो $[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot \vec{r}]$ का मान है