સદિશો $\hat{i} + m \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + m \hat{k}$ અને $m \hat{i} + \hat{k}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય ત્યારે $m$ ની કિંમત શું હોય?

જો એક ચતુષ્ફલક,જેના શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(-3, -1, 1)$,$C(2, 1, 3)$ અને $D(-1, 2, x)$ છે,તેનું ઘનફળ $\frac{11}{6}$ ઘન એકમ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

જો $x$ અને $y$ એવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $-2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$, $x \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$, અને $\hat{i}+y \hat{j}-\hat{k}$ એ ચાર સમતલીય બિંદુઓના સ્થાન સદિશો હોય, તો $P(x, y)$ નો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ અને $\vec{c}=x \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$x \in R$. જો $\vec{d}$ એ $\vec{b}+\vec{c}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{d}=1$ થાય,તો $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ ને $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો $[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot \vec{r}]$ ની કિંમત શોધો.

$a$ ની કઈ કિંમત માટે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના પાયાવાળા પ્રિઝમ (parallelepiped) કે જે સદિશો $i + aj + k$,$j + ak$ અને $ai + k$ દ્વારા બનેલ છે તેનું ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય?