એક પાર્ટીમાં $15$ વ્યક્તિઓ છે અને દરેક વ્યક્તિ અન્ય દરેક વ્યક્તિ સાથે એક વાર હાથ મિલાવે છે,તો હાથ મિલાવવાની કુલ સંખ્યા કેટલી થાય?

$6$ લાલ દડા,$5$ સફેદ દડા અને $5$ વાદળી દડામાંથી $9$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો,જો દરેક પસંદગીમાં દરેક રંગના $3$ દડા હોય.

$n$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી પાંચ વિદ્યાર્થીઓની પસંદગી એવી રીતે કરવામાં આવે છે કે જેથી $2$ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ થાય તેવા પ્રકારોની સંખ્યા અને $2$ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ ન થાય તેવા પ્રકારોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $2:3$ છે. તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

$6$ બેટ્સમેન,$6$ બોલર,$4$ ઓલ-રાઉન્ડર અને $4$ વિકેટ કીપરમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ બેટ્સમેન,ઓછામાં ઓછા $3$ બોલર,ઓછામાં ઓછા $2$ ઓલ-રાઉન્ડર અને માત્ર $1$ વિકેટ કીપર પસંદ કરીને $11$ સભ્યોની ક્રિકેટ ટીમ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

વિધાન-$1:$ $10$ સમાન દડાઓને $4$ ભિન્ન પેટીઓમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ પેટી ખાલી ન રહે,તે $^9C_3$ છે.
વિધાન-$2:$ $9$ અલગ-અલગ જગ્યાઓમાંથી કોઈપણ $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^9C_3$ છે.

$6$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓમાંથી,$7$ સભ્યોનું એક જૂથ બનાવવાનું છે. જો જૂથમાં છોકરાઓની બહુમતી હોય,તો આ કેટલી રીતે કરી શકાય?