एक स्कूल के प्रत्येक कार्य दिवस में $6$ पीरियड होते हैं। $5$ विषयों को इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक को कम से कम एक पीरियड मिले:

$n = 1, 2, 3, . . . , 50$ के लिए,मान लीजिए $A = \{ a_n \mid a_n = \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}} (\frac{n}{2}), & \text{यदि } n \text{ सम है} \\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} (\frac{n-1}{2}), & \text{यदि } n \text{ विषम है} \end{cases} \}$ और $B$,$A$ के सभी भिन्न अवयवों का समुच्चय है। समुच्चय $B$ के सभी अवयवों के उन क्रमचयों की संख्या जिनमें सम पूर्णांक बढ़ते क्रम में हों,है:

यदि ${}^{27}P_{r+7} = 7722 \times {}^{25}P_{r+4}$ है,तो $r = $

$INDEPENDENCE$ शब्द के अक्षरों के विन्यासों की संख्या ज्ञात कीजिए। इनमें से कितने विन्यासों में शब्द $I$ से शुरू होते हैं और $P$ पर समाप्त होते हैं?

यह मानते हुए कि कोई भी दो क्रमागत अंक समान नहीं हैं,$n$-अंकीय संख्याओं की संख्या क्या है?

$1, 2, 3, 2, 3, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली $7$ अंकीय संख्याओं की संख्या क्या है?