दो विशिष्ट स्टेशनों के बीच एक रेलवे लाइन पर $10$ मध्यवर्ती स्टेशन हैं। एक ट्रेन को इन $10$ मध्यवर्ती स्टेशनों में से $3$ स्टेशनों पर इस प्रकार रोकने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि कोई भी दो स्टेशन लगातार न हों:

$A, B, \dots, J$ नाम के $10$ व्यक्ति हैं। हमारे पास केवल $5$ व्यक्तियों को रखने की जगह है। यदि $A$ को शामिल करना अनिवार्य है और $G$ तथा $H$ को $5$ के समूह में शामिल नहीं करना है,तो हम इस समूह को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?

एक इंजीनियर को हर महीने के पहले $15$ दिनों के दौरान ठीक $4$ दिनों के लिए एक कारखाने का दौरा करना आवश्यक है और यह अनिवार्य है कि कोई भी दो दौरे लगातार दिनों में न हों। $1-15$ जून $2021$ के दौरान इंजीनियर द्वारा कारखाने के ऐसे दौरों को करने के सभी संभावित तरीकों की संख्या है:

${}^{50}C_4 + \sum_{r=1}^{6} {}^{56-r}C_3$ का मान है

यदि $^nC_4, ^nC_5,$ और $^nC_6$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो $n$ का मान क्या हो सकता है?

एक परीक्षा में,एक प्रश्न पत्र में $12$ प्रश्न हैं जो दो भागों में विभाजित हैं,यानी भाग $I$ और भाग $II$,जिनमें क्रमशः $5$ और $7$ प्रश्न हैं। एक छात्र को कुल $8$ प्रश्नों का प्रयास करना है,प्रत्येक भाग से कम से कम $3$ प्रश्न चुनते हुए। छात्र कितने तरीकों से प्रश्नों का चयन कर सकता है?