બે પાત્રો (urns) છે. પાત્ર $A$ માં $3$ અલગ-અલગ લાલ દડા છે અને પાત્ર $B$ માં $9$ અલગ-અલગ વાદળી દડા છે. દરેક પાત્રમાંથી યાદચ્છિક રીતે બે દડા બહાર કાઢીને બીજા પાત્રમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા કેટલી રીતે કરી શકાય?

$A, B, \dots, J$ નામના $10$ વ્યક્તિઓ છે. આપણી પાસે માત્ર $5$ વ્યક્તિઓને સમાવવાની ક્ષમતા છે. જો $A$ ને સામેલ કરવો ફરજિયાત હોય અને $G$ તથા $H$ ને $5$ સભ્યોની ટીમમાં સામેલ ન કરવાના હોય, તો તેમને એક હરોળમાં કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય?

$16$ ખેલાડીઓમાંથી $11$ ખેલાડીઓની ક્રિકેટ ટીમ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય,જો $2$ ચોક્કસ ખેલાડીઓને હંમેશા ટીમમાં સામેલ કરવાના હોય?

ધારો કે $A_1, A_2, ....., A_{11}$ એક ટીમમાં ખેલાડીઓ છે જેમની ટી-શર્ટ પર $1, 2, ....., 11$ નંબર છે. ટીમે $100$ સોનાના સિક્કા જીત્યા છે. આ સિક્કાઓને ખેલાડીઓ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાના છે કે દરેક ખેલાડી $A_i$ ને તેના ટી-શર્ટ નંબર કરતા ઓછામાં ઓછા $1$ સિક્કો વધુ મળે. વધુમાં,કેપ્ટન $(A_1)$ અને વાઇસ-કેપ્ટન $(A_2)$ ને તેમના ટી-શર્ટ નંબર કરતા અનુક્રમે ઓછામાં ઓછા $5$ અને $3$ સિક્કા વધુ મળવા જોઈએ. આ સિક્કાઓને કેટલી અલગ અલગ રીતે વહેંચી શકાય?

$5$ ગણિત,$4$ ભૌતિકવિજ્ઞાન અને $2$ રસાયણવિજ્ઞાનના મળીને કુલ $11$ પુસ્તકો એક છાજલી પર ગોઠવેલા છે. જો સમાન વિષયના પુસ્તકો હંમેશા સાથે રહે તેવી ધારણા સાથે તેમને ગોઠવવાની શક્ય રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $A = \{a_1, a_2, a_3, ..., a_n\}$ એ $n$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે. તેના બે ઉપગણો $P$ અને $Q$ સ્વતંત્ર રીતે બનાવવામાં આવે છે. આ ઉપગણો એવી રીતે બનાવવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી $(P - Q)$ માં બરાબર $2$ ઘટકો હોય: