तीन संख्याएँ G.P. में हैं। यदि 3^{rd} पद में | vedclass

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Question

(C) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं।पहली शर्त के अनुसार,$a, ar, ar^2 - 64$ एक $A.P.$ में हैं।इसलिए,$2(ar) = a + (ar^2 - 64) \implies a(

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$4, 20, 100$

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(C) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं।पहली शर्त के अनुसार,$a, ar, ar^2 - 64$ एक $A.P.$ में हैं।इसलिए,$2(ar) = a + (ar^2 - 64) \implies a(r^2 - 2r + 1) = 64 \implies a(r - 1)^2 = 64$ .....$(i)$दूसरी शर्त के अनुसार,$A.P.$ के दूसरे पद में $8$ घटाने पर,$a, ar - 8, ar^2 - 64$ एक $G.P.$ में हैं।इसलिए,$(ar - 8)^2 = a(ar^2 - 64) \implies a^2r^2 - 16ar + 64 = a^2r^2 - 64a \implies 16ar - 64a = 64 \implies ar - 4a = 4 \implies a(r - 4) = 4$ .....(ii)$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर: $\frac{a(r - 1)^2}{a(r - 4)} = \frac{64}{4} \implies \frac{(r - 1)^2}{r - 4} = 16 \implies r^2 - 2r + 1 = 16r - 64 \implies r^2 - 18r + 65 = 0$.द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(r - 5)(r - 13) = 0$,अतः $r = 5$ या $r = 13$ है।यदि $r = 5$ है,तो $a(5 - 4) = 4 \implies a = 4$ है। संख्याएँ $4, 4(5), 4(5^2) = 4, 20, 100$ हैं।यदि $r = 13$ है,तो $a(13 - 4) = 4 \implies 9a = 4 \implies a = 4/9$ है। संख्याएँ $4/9, 52/9, 676/9$ हैं।विकल्प $(c)$ की जाँच करने पर: $4, 20, 100$। $3^{rd}$ पद में $64$ घटाने पर $4, 20, 36$ प्राप्त होता है,जो एक $A.P.$ है $(d=16)$। $2^{nd}$ पद में $8$ घटाने पर $4, 12, 36$ प्राप्त होता है,जो एक $G.P.$ है $(r=3)$। अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

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