दो $-q$ आवेश एक-दूसरे से $2d$ दूरी पर स्थित हैं। एक तीसरा $+q$ आवेश उनके मध्य बिंदु $O$ पर रखा गया है। $-q$ आवेशों के कारण $+q$ की स्थितिज ऊर्जा को $x$ दूरी के फलन के रूप में ज्ञात कीजिए। $P.E.$ बनाम $x$ का ग्राफ खींचिए और स्वयं को आश्वस्त कीजिए कि $O$ पर आवेश अस्थिर संतुलन में है।

(A) मान लीजिए कि $+q$ आवेश को मध्य बिंदु $O$ से $x$ की छोटी दूरी पर एक $-q$ आवेश की ओर विस्थापित किया जाता है।
$-q$ आवेशों के कारण $+q$ की स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = k \left[ \frac{(-q)(q)}{d-x} + \frac{(-q)(q)}{d+x} \right] = -kq^2 \left[ \frac{1}{d-x} + \frac{1}{d+x} \right]$
$U = -kq^2 \left[ \frac{d+x+d-x}{d^2-x^2} \right] = -\frac{2kq^2d}{d^2-x^2}$
बल ज्ञात करने के लिए,हम $U$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$F = -\frac{dU}{dx} = -\frac{d}{dx} \left( -2kq^2d (d^2-x^2)^{-1} \right) = -2kq^2d \left( (d^2-x^2)^{-2} \cdot 2x \right) = -\frac{4kq^2dx}{(d^2-x^2)^2}$
संतुलन के लिए,$F = 0$,जिसका अर्थ है $x = 0$.
स्थिरता की जांच करने के लिए,हम $x=0$ पर $U$ का द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2U}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{4kq^2dx}{(d^2-x^2)^2} \right) = 4kq^2d \left[ \frac{(d^2-x^2)^2 - x \cdot 2(d^2-x^2)(-2x)}{(d^2-x^2)^4} \right]$
$x=0$ पर,$\frac{d^2U}{dx^2} = 4kq^2d \left[ \frac{d^4}{d^8} \right] = \frac{4kq^2}{d^3} > 0$.
चूंकि स्थितिज ऊर्जा का द्वितीय अवकलज $x=0$ पर धनात्मक है,यह अक्ष पर स्थिर संतुलन दर्शाता है,लेकिन अक्ष के लंबवत दिशा में यह अस्थिर है (अर्नशॉ के प्रमेय के अनुसार)।