બે $-q$ વિદ્યુતભારો એકબીજાથી $2d$ અંતરે રહેલા છે. ત્રીજો $+q$ વિદ્યુતભાર તેમના મધ્યબિંદુ $O$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે $+q$ ની સ્થિતિઊર્જા $x$ અંતરના વિધેય તરીકે શોધો. $P.E.$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ દોરો અને સાબિત કરો કે $O$ પરનો વિદ્યુતભાર અસ્થાયી સંતુલનમાં છે.

(A) ધારો કે $+q$ વિદ્યુતભારને મધ્યબિંદુ $O$ થી $x$ જેટલા નાના અંતરે એક $-q$ વિદ્યુતભાર તરફ ખસેડવામાં આવે છે.
$-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે $+q$ ની સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = k \left[ \frac{(-q)(q)}{d-x} + \frac{(-q)(q)}{d+x} \right] = -kq^2 \left[ \frac{1}{d-x} + \frac{1}{d+x} \right]$
$U = -kq^2 \left[ \frac{d+x+d-x}{d^2-x^2} \right] = -\frac{2kq^2d}{d^2-x^2}$
બળ શોધવા માટે,આપણે $U$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$F = -\frac{dU}{dx} = -\frac{d}{dx} \left( -2kq^2d (d^2-x^2)^{-1} \right) = -2kq^2d \left( (d^2-x^2)^{-2} \cdot 2x \right) = -\frac{4kq^2dx}{(d^2-x^2)^2}$
સંતુલન માટે,$F = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
સ્થિરતા તપાસવા માટે,આપણે $x=0$ આગળ $U$ નું દ્વિતીય વિકલન શોધીએ છીએ:
$\frac{d^2U}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{4kq^2dx}{(d^2-x^2)^2} \right) = 4kq^2d \left[ \frac{(d^2-x^2)^2 - x \cdot 2(d^2-x^2)(-2x)}{(d^2-x^2)^4} \right]$
$x=0$ આગળ,$\frac{d^2U}{dx^2} = 4kq^2d \left[ \frac{d^4}{d^8} \right] = \frac{4kq^2}{d^3} > 0$.
સ્થિતિઊર્જાનું દ્વિતીય વિકલન $x=0$ આગળ ધન હોવાથી,તે અક્ષ પર સ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે,પરંતુ અક્ષને લંબ દિશામાં તે અસ્થાયી છે (અર્નશોના પ્રમેય મુજબ).