दो वक्र $C_1 : y = x^2 - 3$ और $C_2 : y = kx^2, k \in R$,एक दूसरे को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटते हैं। $C_2$ पर प्रतिच्छेदन बिंदु $A \equiv (a, y_1), (a > 0)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा $C_1$ को फिर से $B(1, y_2), (y_1 \neq y_2)$ पर मिलती है। '$a$' का मान है

माना $f(x) = (\sin(\tan^{-1} x) + \sin(\cot^{-1} x))^2 - 1$ जहाँ $|x| > 1$ है। यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(f(x)))$ और $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ है,तो $y(-\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x) = \begin{cases} 3(1 - \frac{|x|}{2}) & \text{यदि } |x| \leq 2 \\ 0 & \text{यदि } |x| > 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है। मान लीजिए $g: R \rightarrow R$ को $g(x) = f(x+2) - f(x-2)$ द्वारा दिया गया है। यदि $n$ और $m$ क्रमशः $R$ में उन बिंदुओं की संख्या को दर्शाते हैं जहाँ $g$ असंतत और अवकलनीय नहीं है,तो $n+m$ का मान $....$ है।

फलन $f(x) = \begin{cases} e^{2x} - 1, & x \le 0 \\ ax + \frac{bx^2}{2} - 1, & x > 0 \end{cases}$ किन मानों के लिए सतत और अवकलनीय है?

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x-[x])}{x-[x]} & , x \in (-2, -1) \\ \max \{2x, 3[|x|]\} & , |x| < 1 \\ 1 & , \text{अन्यथा} \end{cases}$ जहाँ $[t]$ महत्तम पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है। यदि $m$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f$ संतत नहीं है और $n$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है,तो क्रमित युग्म $(m, n)$ है

मान लीजिए कि प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $h(x) = \min \{ x, x^2 \}$ है। तो: