दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र होंगी,यदि

मान लीजिए $X$ और $Y$ दो ऐसी घटनाएँ हैं कि $P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$.
कथन $1$: $P(X \cap Y') = P(X' \cap Y) = 0$.
कथन $2$: $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y)$.

यदि एक व्यक्ति पासा तब तक फेंकता है जब तक उसे $3$ से बड़ी संख्या न मिल जाए, तो उसके अंतिम प्रयास में $5$ प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

यदि दो निष्पक्ष छह-पक्षीय पासों को एक साथ तब तक फेंका जाता है जब तक कि योग $7$ या $11$ न आ जाए,तो $11$ से पहले $7$ आने की प्रायिकता क्या है?

यदि $S$ एक यादृच्छिक प्रयोग $\xi$ का प्रतिदर्श समष्टि है और $P$ एक प्रायिकता फलन है जो $S$ के घात समुच्चय $\mathcal{P}(S)$ पर परिभाषित है,तो निम्नलिखित में से कौन सा $P$ द्वारा संतुष्ट नहीं होता है?
$(i)$ $P(\phi) = 0$
(ii) यदि $E^c$,$E$ की पूरक घटना है,तो $P(E^c) = 1 - P(E)$
(iii) $0 \leq P(E) \leq 1, \forall E \subseteq S$
(iv) यदि $E_1 \subseteq E_2$,तो $P(E_2) \leq P(E_1)$

यदि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(B)=\frac{2}{7}$ और $P\left(A \cup B^c\right)=0.8$, तो $P(A \cup B)$ $=$