समान द्रव्यमान वाले दो स्वतंत्र हार्मोनिक ऑसि | vedclass

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Question

(A) सरल आवर्त गति के लिए,फेज स्पेस $(p-x)$ में प्रक्षेप पथ का समीकरण $\frac{p^2}{2mE} + \frac{x^2}{2E/m\omega^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जो एक दीर्घव

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$(B, D)$

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(A) सरल आवर्त गति के लिए,फेज स्पेस $(p-x)$ में प्रक्षेप पथ का समीकरण $\frac{p^2}{2mE} + \frac{x^2}{2E/m\omega^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जो एक दीर्घवृत्त $\frac{p^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1$ को दर्शाता है,जहाँ $a$ आयाम है और $b$ अधिकतम संवेग $p_{max} = m\omega a$ है।पहले ऑसिलेटर के लिए:$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$ और $b = m \omega_1 a$. अतः,$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1}$.दूसरे ऑसिलेटर के लिए:$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$ और प्रक्षेप पथ एक वृत्त है,इसलिए $p_{max} = x_{max} \Rightarrow m \omega_2 R = R \Rightarrow m \omega_2 = 1$.$m \omega_2 = 1$ को $\frac{a}{b}$ के व्यंजक में रखने पर:$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1} = \frac{\omega_2}{\omega_1} = n^2$ (विकल्प $B$ सही है)।साथ ही,$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$. पहले ऑसिलेटर के लिए,$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$. दूसरे के लिए,$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$. चूँकि $m \omega_2 = 1$,$E_2 = \frac{1}{2} \omega_2 R^2$. दिया गया है कि $\frac{a}{R} = n$,तो $a = nR$. $\frac{a}{b} = n^2$ से,$b = \frac{a}{n^2} = \frac{nR}{n^2} = \frac{R}{n}$.चूँकि $b = m \omega_1 a$,$\frac{R}{n} = m \omega_1 (nR) \Rightarrow m \omega_1 = \frac{1}{n^2}$.अब,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2}{\omega_1} = \frac{1}{2} m \omega_1 a^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{n^2}) (nR)^2 = \frac{1}{2} R^2$.और $\frac{E_2}{\omega_2} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2}{\omega_2} = \frac{1}{2} m \omega_2 R^2 = \frac{1}{2} (1) R^2 = \frac{1}{2} R^2$.अतः,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{E_2}{\omega_2}$ (विकल्प $D$ सही है)।

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