પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકો અક્ષને $P_1$ અને $P_2$ માં મળે છે. જો $S$ એ પરવલયનું નાભિ હોય,તો $\frac{1}{SP_1} + \frac{1}{SP_2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $T_1$ અને $T_2$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ અને પરવલય $P: y^2=12x$ ના બે ભિન્ન સામાન્ય સ્પર્શકો છે. ધારો કે સ્પર્શક $T_1$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_1$ અને $A_2$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને સ્પર્શક $T_2$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_4$ અને $A_3$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $35$ ચોરસ એકમ છે.
$(B)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $36$ ચોરસ એકમ છે.
$(C)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-3,0)$ બિંદુએ મળે છે.
$(D)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-6,0)$ બિંદુએ મળે છે.

ઉગમબિંદુ $O$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલય $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે અને તેની નિયામિકાઓ $x = \pm \frac{4\sqrt{6}}{3}$ છે. ધારો કે $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ એક અતિવલય છે જેની ઉત્કેન્દ્રતા $E$ ની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ જેટલી છે, અને જેની નાભિલંબની લંબાઈ $E$ ની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ જેટલી છે. તો $H$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:

$(10, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $y = \frac{x^2}{4} - 2$ ને લંબ હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

વર્તુળ $x^2+y^2=9$ અને પરવલય $y^2=8x$ ધ્યાનમાં લો. તેઓ અનુક્રમે પ્રથમ અને ચોથા ચરણમાં $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. $P$ અને $Q$ આગળ વર્તુળના સ્પર્શકો $x$-અક્ષને $R$ માં છેદે છે અને $P$ અને $Q$ આગળ પરવલયના સ્પર્શકો $x$-અક્ષને $S$ માં છેદે છે.
$1.$ ત્રિકોણ $PQS$ અને $PQR$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે
$(A)$ $1:\sqrt{2}$ $(B)$ $1:2$ $(C)$ $1:4$ $(D)$ $1:8$
$2.$ ત્રિકોણ $PRS$ ના પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા છે
$(A)$ $5$ $(B)$ $3\sqrt{3}$ $(C)$ $3\sqrt{2}$ $(D)$ $2\sqrt{3}$
$3.$ ત્રિકોણ $PQR$ ના અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા છે
$(A)$ $4$ $(B)$ $3$ $(C)$ $8/3$ $(D)$ $2$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 2$ ને દોરેલા સ્પર્શકોનો યામ અક્ષો વચ્ચેનો અંતઃખંડના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ શોધો.