ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 2$ ને દોરેલા સ્પર્શકોનો યામ અક્ષો વચ્ચેનો અંતઃખંડના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ શોધો.

એક દ્વિઘાત બહુપદી $y = f(x)$ જેનો અચળ પદ $3$ છે,તે $x$-અક્ષને સ્પર્શતી નથી કે છેદતી નથી અને રેખા $x = 1$ ની સાપેક્ષે સંમિત છે. બહુપદીના અગ્ર પદનો સહગુણક એકમ છે. કાર્ટેઝિયન લંબચોરસ યામ પદ્ધતિ $OXY$ માં પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $y = f(x)$ પર એક બિંદુ $A(x_1, y_1)$ જેનો $x$-યામ $x_1 = 1$ છે અને બિંદુ $B(x_2, y_2)$ જેનો $y$-યામ $y_2 = 11$ છે,આપેલ છે,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે. દ્વિઘાત બહુપદીનું શિરોબિંદુ શોધો.

અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ ની જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ,જે પરવલય $x^2 = 4by$ ને સ્પર્શક હોય,તે -

ધારો કે $x^2=4ky, k>0$ એ શિરોબિંદુ $O(0,0)$ ધરાવતું પરવલય છે. ધારો કે $BC$ તેની નાભિલંબ છે. $BC$ પર કેન્દ્ર $P$ ધરાવતું એક ઉપવલય પરવલયને $O$ આગળ સ્પર્શે છે,અને $BC$ ને $D$ અને $E$ બિંદુઓમાં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $BD=DE=EC$ ($B, D, E, C$ તે ક્રમમાં છે). ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

વક્રો $x^2 + y^2 = 4$ અને $2x^2 + y^2 = 2$ માટે સામાન્ય સ્પર્શક શોધો.

જો વક્ર $x^{2}+2 y^{2}=2$ એ રેખા $x + y =1$ ને બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે,તો રેખાખંડ $PQ$ દ્વારા ઉગમબિંદુ આગળ આંતરાતો ખૂણો ...... છે.